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penguin
RES
再履修の2回生です。
一体問題復習編のプリントの（e）の問題が解けません。
問題は、正負の領域を含めたすべての時刻を考えるならば、
この質点の位置ベクトルと速度ベクトルが垂直になる瞬間が存在することを示すものですが、
位置ベクトル
ｘ＝ｒcosΘ＋ｘ0（→初速度）
ｙ=rsinΘ＋ｙ０
ｚ＝ｚ０
として速度ベクトルの内積を取ったりしてみましたが、
行き詰ってしまいました。
たぶんイメージがつかめていません。
万有引力についての問題と思うのですが、
そうすると質点は、引力の中心のまわりを円軌道を描いて、
位置ベクトルと速度ベクトルはいつでも垂直になるのではないかと思ったりしました。
どういう運動をしていて、どういうときに垂直になるのか、
何を証明すればいいのかということを教えてください。
一体問題復習編のプリントの（e）の問題が解けません。
問題は、正負の領域を含めたすべての時刻を考えるならば、
この質点の位置ベクトルと速度ベクトルが垂直になる瞬間が存在することを示すものですが、
位置ベクトル
ｘ＝ｒcosΘ＋ｘ0（→初速度）
ｙ=rsinΘ＋ｙ０
ｚ＝ｚ０
として速度ベクトルの内積を取ったりしてみましたが、
行き詰ってしまいました。
たぶんイメージがつかめていません。
万有引力についての問題と思うのですが、
そうすると質点は、引力の中心のまわりを円軌道を描いて、
位置ベクトルと速度ベクトルはいつでも垂直になるのではないかと思ったりしました。
どういう運動をしていて、どういうときに垂直になるのか、
何を証明すればいいのかということを教えてください。
はぎわら
RES
2010年度(後期)の運用を開始します。積極的にご利用下さい。
これまで使ってきたlivedoorのレンタル掲示板"OTD"が閉鎖になるため、今秋より、WOXの掲示板サービスに移行します。（このページが新システムのものです．）
利用上の注意や方針は、当初のものを引継ぎますが、一応以下に記載します。
-----
書き込む際の投稿者名は、実名でも、任意ハンドル名でも結構ですが、できるだけ毎回同じ投稿者名を使って下さい。内容本文の出だしでは、学年（必要に応じて所属）を明示して下さい。
受付ける内容は、授業科目「力学（Pa）」、あるいは物理学一般に関連する、（素朴な）疑問・悩みなどを主とします。単に「〇〇の解き方が分かりません.」のような漠然とした質問には答えにくいので、疑問のポイントを明確にして下さい。自分なりに考えた段階のことを書くのが望ましいです。
ある人の質問やそれに続くやりとりに対して、別の人がコメントをつけることは禁止しませんが、本来のやりとりの流れを妨害しないように節度を守って下さい。
本掲示板の主旨に照らして、内容あるいは表現が不適切と思われる書き込みは、断りなく削除します。管理者は、投稿者が利用したネットワークアドレス情報を参照することがあります。
これまで使ってきたlivedoorのレンタル掲示板"OTD"が閉鎖になるため、今秋より、WOXの掲示板サービスに移行します。（このページが新システムのものです．）
利用上の注意や方針は、当初のものを引継ぎますが、一応以下に記載します。
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書き込む際の投稿者名は、実名でも、任意ハンドル名でも結構ですが、できるだけ毎回同じ投稿者名を使って下さい。内容本文の出だしでは、学年（必要に応じて所属）を明示して下さい。
受付ける内容は、授業科目「力学（Pa）」、あるいは物理学一般に関連する、（素朴な）疑問・悩みなどを主とします。単に「〇〇の解き方が分かりません.」のような漠然とした質問には答えにくいので、疑問のポイントを明確にして下さい。自分なりに考えた段階のことを書くのが望ましいです。
ある人の質問やそれに続くやりとりに対して、別の人がコメントをつけることは禁止しませんが、本来のやりとりの流れを妨害しないように節度を守って下さい。
本掲示板の主旨に照らして、内容あるいは表現が不適切と思われる書き込みは、断りなく削除します。管理者は、投稿者が利用したネットワークアドレス情報を参照することがあります。
はぎわら
RES
＜四角推の対称軸まわりの慣性モーメント 2010/02/03 22:51＞
―お約束の解答を記します―
一様な密度ρの正方形板状の剛体を考えます。正方形の一辺の長さをL、板の厚みをΔzとします。
この部分正方形板について、
体積 v=(L^2)Δz
質量 m=ρ(L^2)Δz
正方形の中心を通り、面に垂直な回転軸の回りの慣性モーメント:
Ip=(M/6)(L^2)=(ρ/6)(L^4)Δz
さて、今の場合の角錐の底からの高さzの所の断面を底面とする正方形の一辺の長さは a(1-z/h) となりますから、これを上の３つの式に入れれば、それぞれの量を z の関数として書いた式が得られます。
これを、四角推のz領域の範囲で足し合わせ、Δz→0の極限をとるならば、積分の式として、四角推の全体積Vや全慣性モーメントIの式が求まります。
I=∫[(ρ/6)(a^4)(1-z/h)^4]dz
=ρ(a^4)/6*［-(h/5)(1-z/h)^5］の0からhまでの差額
=ρ(a^4)h/30
これをMを使った表現にすることもできますね。やってみて下さい。
―お約束の解答を記します―
一様な密度ρの正方形板状の剛体を考えます。正方形の一辺の長さをL、板の厚みをΔzとします。
この部分正方形板について、
体積 v=(L^2)Δz
質量 m=ρ(L^2)Δz
正方形の中心を通り、面に垂直な回転軸の回りの慣性モーメント:
Ip=(M/6)(L^2)=(ρ/6)(L^4)Δz
さて、今の場合の角錐の底からの高さzの所の断面を底面とする正方形の一辺の長さは a(1-z/h) となりますから、これを上の３つの式に入れれば、それぞれの量を z の関数として書いた式が得られます。
これを、四角推のz領域の範囲で足し合わせ、Δz→0の極限をとるならば、積分の式として、四角推の全体積Vや全慣性モーメントIの式が求まります。
I=∫[(ρ/6)(a^4)(1-z/h)^4]dz
=ρ(a^4)/6*［-(h/5)(1-z/h)^5］の0からhまでの差額
=ρ(a^4)h/30
これをMを使った表現にすることもできますね。やってみて下さい。
ｓｔｄ１
RES
＜2009/02/07 16:23＞
一年の者です。
練習問題[1]について質問です。円板の慣性モーメントIoは、
Io=M×(aの2乗)/2
ですが、『これを寄せ集める計算』の具体的な仕方が分かりません。
まず、何に対して（ｒやθなど）積分するのですか？
また、積分する際は質量Mをｒや体積密度ρに戻すのですか？
一年の者です。
練習問題[1]について質問です。円板の慣性モーメントIoは、
Io=M×(aの2乗)/2
ですが、『これを寄せ集める計算』の具体的な仕方が分かりません。
まず、何に対して（ｒやθなど）積分するのですか？
また、積分する際は質量Mをｒや体積密度ρに戻すのですか？
はぎわら
＜2009/02/24 12:52＞
ごめんなさい。
ほとんど書き込みがないので、チェックが遅れました。
=====
> まず、何に対して（ｒやθなど）積分するのですか？
それを考えてほしいのですが、、要は、円板を積み重ねて球を埋め尽くすようにするための変数座標です。ここでは、回転軸に沿う高さ方向の座標hとしましょう。
> また、積分する際は質量Mをｒや体積密度ρに戻すのですか？
部分質量の総和が全質量ということなので、円板の表現から球全体の表現へ移るためには、一旦部分質量を考え、後で、全質量にまとめ直すことになります。
-----
実際にやってみましょう。球の半径はR（定数）とします。
まず、球を輪切りにしてできる、底面の高さがhで厚みが⊿hの部分円板の質量は、その体積のρ倍（ρは密度）ですから、ρπ(R^2-h^2)*⊿h になりますね。
円板の慣性モーメントの式を使って、この部分の慣性モーメントを求めると、次のようになります。
ρ(1/2)π(R^2-h^2)*⊿h * (R^2-h^2)
=(πρ/2)(R^2-h^2)^2*⊿h
これを寄せ集めて⊿hを小さくする極限をとるなら、hに対する積分になります。区間は、半球なら0～R。
∫(πρ/2)∫(R^2- h^2)^2*dh
=(4πρ/15)R^5
全球はこの2倍：(8/15) πρR^5 (式1)
ところで、球の全質量Mは、(4/3)πρR^3。
(式1)を、このMを使って表せば、以下となります。
(2M/5)R^2
これが、密度が一様な球の重心のまわりの慣性モーメントの式です。
ごめんなさい。
ほとんど書き込みがないので、チェックが遅れました。
=====
> まず、何に対して（ｒやθなど）積分するのですか？
それを考えてほしいのですが、、要は、円板を積み重ねて球を埋め尽くすようにするための変数座標です。ここでは、回転軸に沿う高さ方向の座標hとしましょう。
> また、積分する際は質量Mをｒや体積密度ρに戻すのですか？
部分質量の総和が全質量ということなので、円板の表現から球全体の表現へ移るためには、一旦部分質量を考え、後で、全質量にまとめ直すことになります。
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実際にやってみましょう。球の半径はR（定数）とします。
まず、球を輪切りにしてできる、底面の高さがhで厚みが⊿hの部分円板の質量は、その体積のρ倍（ρは密度）ですから、ρπ(R^2-h^2)*⊿h になりますね。
円板の慣性モーメントの式を使って、この部分の慣性モーメントを求めると、次のようになります。
ρ(1/2)π(R^2-h^2)*⊿h * (R^2-h^2)
=(πρ/2)(R^2-h^2)^2*⊿h
これを寄せ集めて⊿hを小さくする極限をとるなら、hに対する積分になります。区間は、半球なら0～R。
∫(πρ/2)∫(R^2- h^2)^2*dh
=(4πρ/15)R^5
全球はこの2倍：(8/15) πρR^5 (式1)
ところで、球の全質量Mは、(4/3)πρR^3。
(式1)を、このMを使って表せば、以下となります。
(2M/5)R^2
これが、密度が一様な球の重心のまわりの慣性モーメントの式です。
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