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はぎわら
RES
＜四角推の対称軸まわりの慣性モーメント 2010/02/03 22:51＞
―お約束の解答を記します―
一様な密度ρの正方形板状の剛体を考えます。正方形の一辺の長さをL、板の厚みをΔzとします。
この部分正方形板について、
体積 v=(L^2)Δz
質量 m=ρ(L^2)Δz
正方形の中心を通り、面に垂直な回転軸の回りの慣性モーメント:
Ip=(M/6)(L^2)=(ρ/6)(L^4)Δz
さて、今の場合の角錐の底からの高さzの所の断面を底面とする正方形の一辺の長さは a(1-z/h) となりますから、これを上の３つの式に入れれば、それぞれの量を z の関数として書いた式が得られます。
これを、四角推のz領域の範囲で足し合わせ、Δz→0の極限をとるならば、積分の式として、四角推の全体積Vや全慣性モーメントIの式が求まります。
I=∫[(ρ/6)(a^4)(1-z/h)^4]dz
=ρ(a^4)/6*［-(h/5)(1-z/h)^5］の0からhまでの差額
=ρ(a^4)h/30
これをMを使った表現にすることもできますね。やってみて下さい。
―お約束の解答を記します―
一様な密度ρの正方形板状の剛体を考えます。正方形の一辺の長さをL、板の厚みをΔzとします。
この部分正方形板について、
体積 v=(L^2)Δz
質量 m=ρ(L^2)Δz
正方形の中心を通り、面に垂直な回転軸の回りの慣性モーメント:
Ip=(M/6)(L^2)=(ρ/6)(L^4)Δz
さて、今の場合の角錐の底からの高さzの所の断面を底面とする正方形の一辺の長さは a(1-z/h) となりますから、これを上の３つの式に入れれば、それぞれの量を z の関数として書いた式が得られます。
これを、四角推のz領域の範囲で足し合わせ、Δz→0の極限をとるならば、積分の式として、四角推の全体積Vや全慣性モーメントIの式が求まります。
I=∫[(ρ/6)(a^4)(1-z/h)^4]dz
=ρ(a^4)/6*［-(h/5)(1-z/h)^5］の0からhまでの差額
=ρ(a^4)h/30
これをMを使った表現にすることもできますね。やってみて下さい。
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