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Katsuragi
RES
2019/8/12の質問に答えてくださり、ありがとうございました。
今回は単位のことで質問があります。
実験でI-V特性を測定することが多くありますが、理論的にI∝exp(V)の関係が分かっているときにIの対数をとって、log(I)-Vのグラフにすることがあります。
このとき真数であるIやlog(I)の単位はどうなっているのでしょうか。
理論式は通常冪乗の関数で表されていて、仮にexpやlogが表式に現れてもその中身(引数？)は、次元を計算すると約分されて無次元にされているはずです。
しかし、I∝exp(V)のように比例関係のみを見たい場合、指数関数内は次元を持ちます。勿論両辺で対数を取ったlog(I)∝Vにも同じことが言えます。これはどう考えたらよいのでしょうか。
WEBで検索すると、例えば[A]の単位を持つ電流I[A]という量をlogに代入するなら、I[A]を1 Aで割り、無次元化すれば良いという考えがよく見られました。たしかに
log(I[A]/1 A)=log(I)
となり、I[A]から単位が除かれ、Iを純粋な数字(無次元)として取り扱うことができます。
しかしlogという関数の性質から、
log(I[A]/1 A) = log(I[A]) - log(1 A)
と分解できてしまい、これではまた真数が次元を持つ量になってしまい堂々めぐりになってしまいます。
一方で次のようにも思います。
「左辺のlogは確実に無次元量なのだから右辺も無次元のはずだ。真数には単位がついていてもよく、logの値自体はいつでも無次元だ。」
この２つの立場の間で混乱しています。
今回は単位のことで質問があります。
実験でI-V特性を測定することが多くありますが、理論的にI∝exp(V)の関係が分かっているときにIの対数をとって、log(I)-Vのグラフにすることがあります。
このとき真数であるIやlog(I)の単位はどうなっているのでしょうか。
理論式は通常冪乗の関数で表されていて、仮にexpやlogが表式に現れてもその中身(引数？)は、次元を計算すると約分されて無次元にされているはずです。
しかし、I∝exp(V)のように比例関係のみを見たい場合、指数関数内は次元を持ちます。勿論両辺で対数を取ったlog(I)∝Vにも同じことが言えます。これはどう考えたらよいのでしょうか。
WEBで検索すると、例えば[A]の単位を持つ電流I[A]という量をlogに代入するなら、I[A]を1 Aで割り、無次元化すれば良いという考えがよく見られました。たしかに
log(I[A]/1 A)=log(I)
となり、I[A]から単位が除かれ、Iを純粋な数字(無次元)として取り扱うことができます。
しかしlogという関数の性質から、
log(I[A]/1 A) = log(I[A]) - log(1 A)
と分解できてしまい、これではまた真数が次元を持つ量になってしまい堂々めぐりになってしまいます。
一方で次のようにも思います。
「左辺のlogは確実に無次元量なのだから右辺も無次元のはずだ。真数には単位がついていてもよく、logの値自体はいつでも無次元だ。」
この２つの立場の間で混乱しています。
はぎわら
Katsuragi君；
今時間がないので、とりあえず、ショートカットなコメントを書きます。（後日追記すると思います）
「理論的にI∝exp(V)の関係」
こういうことは、成立しません。指数関数は、べき乗関数と違って、スケールによって形が変わる関数です。法則的な普遍性がある場合には、必ず、(Y/y)∝exp[X/x] の形で表されます。（小文字は、大文字と同じ次元をもつ、物理現象的に定まる特性値です.）
そうでないと、'特定の単位を使って表すときだけに成り立つ法則'という、非科学的な事態となります。
関数の変数が直接の物理量をとり得るのは、冪乗に限られます。
今時間がないので、とりあえず、ショートカットなコメントを書きます。（後日追記すると思います）
「理論的にI∝exp(V)の関係」
こういうことは、成立しません。指数関数は、べき乗関数と違って、スケールによって形が変わる関数です。法則的な普遍性がある場合には、必ず、(Y/y)∝exp[X/x] の形で表されます。（小文字は、大文字と同じ次元をもつ、物理現象的に定まる特性値です.）
そうでないと、'特定の単位を使って表すときだけに成り立つ法則'という、非科学的な事態となります。
関数の変数が直接の物理量をとり得るのは、冪乗に限られます。
Katsuragi
RES
電子3年生です。
素朴な(今さらな)疑問なのですが、ニュートンの運動方程式
ma=f
は、「『力』というものの実態はよく分からないが、とにかく質量mの物体が加速度aで運動しているとき、この物体にはmaというベクトル量を持つ『力』なるものが働いていると考えよう」という意味の、言ってみれば”運動量p=mv””電気容量C=Q/V”などの式と同質の、「力の定義式」なのでしょうか。
それとも「力fが働いているのだから、この物体は今後加速度a=f/mで運動していくはずだ」という、物体の軌道の時間発展を表す普通の(?)方程式なのでしょうか。
個人的には、加速度aには「変位を時間で2階微分したもの」という明確な定義があるのに対して、力fには(僕の知る限りで)”ma=f”の他にfを説明するような式がないので、前者の「運動方程式は定義式」というのが正しい気がしますが、実際問題今までに解いた力学の問題を考えると、後者の立場をとっているので混乱しています。
素朴な(今さらな)疑問なのですが、ニュートンの運動方程式
ma=f
は、「『力』というものの実態はよく分からないが、とにかく質量mの物体が加速度aで運動しているとき、この物体にはmaというベクトル量を持つ『力』なるものが働いていると考えよう」という意味の、言ってみれば”運動量p=mv””電気容量C=Q/V”などの式と同質の、「力の定義式」なのでしょうか。
それとも「力fが働いているのだから、この物体は今後加速度a=f/mで運動していくはずだ」という、物体の軌道の時間発展を表す普通の(?)方程式なのでしょうか。
個人的には、加速度aには「変位を時間で2階微分したもの」という明確な定義があるのに対して、力fには(僕の知る限りで)”ma=f”の他にfを説明するような式がないので、前者の「運動方程式は定義式」というのが正しい気がしますが、実際問題今までに解いた力学の問題を考えると、後者の立場をとっているので混乱しています。
はぎわら
Katsuragi君；
（書き込み発見と）お返事が遅くなり、ごめんなさい。貴殿の疑問は、古典物理学を大系づける根本原理に関わることで、とても重要です。
実は、運動法則を力の定義とみるか否かは、物理学者の間でもしばしば問題になります。多くの場合、力の定義がよそから与えれることはないけれども、運動を決定する原理なのだから法則と見て良い、、という、欲求不満の残るコメントでお茶を濁すことになります。
私の見解は、貴殿と同様と考えてもらっていいです。運動法則によって、「質量」と「力」が同時・相補的に定義されていると考えるのが正しいと思います。この立場が先ずあって、それに基づいて、経験則的に、ある状況に置かれた物体に作用する力を推察できるようになる。そこに至ってやっと、量の間の方程式が立ち、法則のように扱えるようになる、、こういう論理構造です。
運動法則を力の定義と認め難い人は、「静力学」をイメージしていることが多いようです。「加速度と関係なく力（応力）は決まっているはず!」みたいな感覚です。しかし、応力概念は、力とかエネルギー（仕事）の概念の上にしか構築できない２次的概念と見なすのが正しいです。静力学の範囲でぐるぐる巡っても、力の根本原理は得られません。
結局、はじめに述べた論理構造のように理解するするのが最も妥当です。こういうことがきちんと書かれた本が必要ですね。
（書き込み発見と）お返事が遅くなり、ごめんなさい。貴殿の疑問は、古典物理学を大系づける根本原理に関わることで、とても重要です。
実は、運動法則を力の定義とみるか否かは、物理学者の間でもしばしば問題になります。多くの場合、力の定義がよそから与えれることはないけれども、運動を決定する原理なのだから法則と見て良い、、という、欲求不満の残るコメントでお茶を濁すことになります。
私の見解は、貴殿と同様と考えてもらっていいです。運動法則によって、「質量」と「力」が同時・相補的に定義されていると考えるのが正しいと思います。この立場が先ずあって、それに基づいて、経験則的に、ある状況に置かれた物体に作用する力を推察できるようになる。そこに至ってやっと、量の間の方程式が立ち、法則のように扱えるようになる、、こういう論理構造です。
運動法則を力の定義と認め難い人は、「静力学」をイメージしていることが多いようです。「加速度と関係なく力（応力）は決まっているはず!」みたいな感覚です。しかし、応力概念は、力とかエネルギー（仕事）の概念の上にしか構築できない２次的概念と見なすのが正しいです。静力学の範囲でぐるぐる巡っても、力の根本原理は得られません。
結局、はじめに述べた論理構造のように理解するするのが最も妥当です。こういうことがきちんと書かれた本が必要ですね。
はぎわら
RES
2018年度の講義履修者を対象とした運用を開始しています。
教室内の会話の形では問いにくいことなど、この掲示板を使って、積極的に質問して下さい。
---いつもと同じですが、以下の注意書きを掲載しておきます。
〔利用上の注意と基本方針〕
書き込む際に入力する名前は、実名でも、ハンドル名でも結構ですが、できるだけ毎回同じ投稿者名を使って下さい。初出のときには、最初に、学年（必要に応じて所属）等を書いて下さい。
例） 「機械3年の工繊太郎といいます。」
授業科目「力学（pa）」、あるいは物理学一般に関連する、（素朴な）疑問を主に受け付けます。単に「〇〇の解き方が分かりません.」のような漠然とした質問には答えにくいので、疑問のポイントを明確にして下さい。自分なりに考えた段階のことを書くのが望ましいです。
ある人の質問やそれに続くやりとりに対して、別の人がコメントをつけることは禁止しませんが、本来のやりとりの流れを妨害しないように節度を守って下さい。
本掲示板の主旨に照らして、内容あるいは表現が不適切と思われる書き込みは、断りなく削除します。
教室内の会話の形では問いにくいことなど、この掲示板を使って、積極的に質問して下さい。
---いつもと同じですが、以下の注意書きを掲載しておきます。
〔利用上の注意と基本方針〕
書き込む際に入力する名前は、実名でも、ハンドル名でも結構ですが、できるだけ毎回同じ投稿者名を使って下さい。初出のときには、最初に、学年（必要に応じて所属）等を書いて下さい。
例） 「機械3年の工繊太郎といいます。」
授業科目「力学（pa）」、あるいは物理学一般に関連する、（素朴な）疑問を主に受け付けます。単に「〇〇の解き方が分かりません.」のような漠然とした質問には答えにくいので、疑問のポイントを明確にして下さい。自分なりに考えた段階のことを書くのが望ましいです。
ある人の質問やそれに続くやりとりに対して、別の人がコメントをつけることは禁止しませんが、本来のやりとりの流れを妨害しないように節度を守って下さい。
本掲示板の主旨に照らして、内容あるいは表現が不適切と思われる書き込みは、断りなく削除します。
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