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Katsuragi
RES
2019/8/12の質問に答えてくださり、ありがとうございました。
今回は単位のことで質問があります。
実験でI-V特性を測定することが多くありますが、理論的にI∝exp(V)の関係が分かっているときにIの対数をとって、log(I)-Vのグラフにすることがあります。
このとき真数であるIやlog(I)の単位はどうなっているのでしょうか。
理論式は通常冪乗の関数で表されていて、仮にexpやlogが表式に現れてもその中身(引数？)は、次元を計算すると約分されて無次元にされているはずです。
しかし、I∝exp(V)のように比例関係のみを見たい場合、指数関数内は次元を持ちます。勿論両辺で対数を取ったlog(I)∝Vにも同じことが言えます。これはどう考えたらよいのでしょうか。
WEBで検索すると、例えば[A]の単位を持つ電流I[A]という量をlogに代入するなら、I[A]を1 Aで割り、無次元化すれば良いという考えがよく見られました。たしかに
log(I[A]/1 A)=log(I)
となり、I[A]から単位が除かれ、Iを純粋な数字(無次元)として取り扱うことができます。
しかしlogという関数の性質から、
log(I[A]/1 A) = log(I[A]) - log(1 A)
と分解できてしまい、これではまた真数が次元を持つ量になってしまい堂々めぐりになってしまいます。
一方で次のようにも思います。
「左辺のlogは確実に無次元量なのだから右辺も無次元のはずだ。真数には単位がついていてもよく、logの値自体はいつでも無次元だ。」
この２つの立場の間で混乱しています。
今回は単位のことで質問があります。
実験でI-V特性を測定することが多くありますが、理論的にI∝exp(V)の関係が分かっているときにIの対数をとって、log(I)-Vのグラフにすることがあります。
このとき真数であるIやlog(I)の単位はどうなっているのでしょうか。
理論式は通常冪乗の関数で表されていて、仮にexpやlogが表式に現れてもその中身(引数？)は、次元を計算すると約分されて無次元にされているはずです。
しかし、I∝exp(V)のように比例関係のみを見たい場合、指数関数内は次元を持ちます。勿論両辺で対数を取ったlog(I)∝Vにも同じことが言えます。これはどう考えたらよいのでしょうか。
WEBで検索すると、例えば[A]の単位を持つ電流I[A]という量をlogに代入するなら、I[A]を1 Aで割り、無次元化すれば良いという考えがよく見られました。たしかに
log(I[A]/1 A)=log(I)
となり、I[A]から単位が除かれ、Iを純粋な数字(無次元)として取り扱うことができます。
しかしlogという関数の性質から、
log(I[A]/1 A) = log(I[A]) - log(1 A)
と分解できてしまい、これではまた真数が次元を持つ量になってしまい堂々めぐりになってしまいます。
一方で次のようにも思います。
「左辺のlogは確実に無次元量なのだから右辺も無次元のはずだ。真数には単位がついていてもよく、logの値自体はいつでも無次元だ。」
この２つの立場の間で混乱しています。
はぎわら
Katsuragi君；
今時間がないので、とりあえず、ショートカットなコメントを書きます。（後日追記すると思います）
「理論的にI∝exp(V)の関係」
こういうことは、成立しません。指数関数は、べき乗関数と違って、スケールによって形が変わる関数です。法則的な普遍性がある場合には、必ず、(Y/y)∝exp[X/x] の形で表されます。（小文字は、大文字と同じ次元をもつ、物理現象的に定まる特性値です.）
そうでないと、'特定の単位を使って表すときだけに成り立つ法則'という、非科学的な事態となります。
関数の変数が直接の物理量をとり得るのは、冪乗に限られます。
今時間がないので、とりあえず、ショートカットなコメントを書きます。（後日追記すると思います）
「理論的にI∝exp(V)の関係」
こういうことは、成立しません。指数関数は、べき乗関数と違って、スケールによって形が変わる関数です。法則的な普遍性がある場合には、必ず、(Y/y)∝exp[X/x] の形で表されます。（小文字は、大文字と同じ次元をもつ、物理現象的に定まる特性値です.）
そうでないと、'特定の単位を使って表すときだけに成り立つ法則'という、非科学的な事態となります。
関数の変数が直接の物理量をとり得るのは、冪乗に限られます。
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