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ｓｔｄ１
RES
＜2009/02/07 16:23＞
一年の者です。
練習問題[1]について質問です。円板の慣性モーメントIoは、
Io=M×(aの2乗)/2
ですが、『これを寄せ集める計算』の具体的な仕方が分かりません。
まず、何に対して（ｒやθなど）積分するのですか？
また、積分する際は質量Mをｒや体積密度ρに戻すのですか？
一年の者です。
練習問題[1]について質問です。円板の慣性モーメントIoは、
Io=M×(aの2乗)/2
ですが、『これを寄せ集める計算』の具体的な仕方が分かりません。
まず、何に対して（ｒやθなど）積分するのですか？
また、積分する際は質量Mをｒや体積密度ρに戻すのですか？
はぎわら
＜2009/02/24 12:52＞
ごめんなさい。
ほとんど書き込みがないので、チェックが遅れました。
=====
> まず、何に対して（ｒやθなど）積分するのですか？
それを考えてほしいのですが、、要は、円板を積み重ねて球を埋め尽くすようにするための変数座標です。ここでは、回転軸に沿う高さ方向の座標hとしましょう。
> また、積分する際は質量Mをｒや体積密度ρに戻すのですか？
部分質量の総和が全質量ということなので、円板の表現から球全体の表現へ移るためには、一旦部分質量を考え、後で、全質量にまとめ直すことになります。
-----
実際にやってみましょう。球の半径はR（定数）とします。
まず、球を輪切りにしてできる、底面の高さがhで厚みが⊿hの部分円板の質量は、その体積のρ倍（ρは密度）ですから、ρπ(R^2-h^2)*⊿h になりますね。
円板の慣性モーメントの式を使って、この部分の慣性モーメントを求めると、次のようになります。
ρ(1/2)π(R^2-h^2)*⊿h * (R^2-h^2)
=(πρ/2)(R^2-h^2)^2*⊿h
これを寄せ集めて⊿hを小さくする極限をとるなら、hに対する積分になります。区間は、半球なら0～R。
∫(πρ/2)∫(R^2- h^2)^2*dh
=(4πρ/15)R^5
全球はこの2倍：(8/15) πρR^5 (式1)
ところで、球の全質量Mは、(4/3)πρR^3。
(式1)を、このMを使って表せば、以下となります。
(2M/5)R^2
これが、密度が一様な球の重心のまわりの慣性モーメントの式です。
ごめんなさい。
ほとんど書き込みがないので、チェックが遅れました。
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> まず、何に対して（ｒやθなど）積分するのですか？
それを考えてほしいのですが、、要は、円板を積み重ねて球を埋め尽くすようにするための変数座標です。ここでは、回転軸に沿う高さ方向の座標hとしましょう。
> また、積分する際は質量Mをｒや体積密度ρに戻すのですか？
部分質量の総和が全質量ということなので、円板の表現から球全体の表現へ移るためには、一旦部分質量を考え、後で、全質量にまとめ直すことになります。
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実際にやってみましょう。球の半径はR（定数）とします。
まず、球を輪切りにしてできる、底面の高さがhで厚みが⊿hの部分円板の質量は、その体積のρ倍（ρは密度）ですから、ρπ(R^2-h^2)*⊿h になりますね。
円板の慣性モーメントの式を使って、この部分の慣性モーメントを求めると、次のようになります。
ρ(1/2)π(R^2-h^2)*⊿h * (R^2-h^2)
=(πρ/2)(R^2-h^2)^2*⊿h
これを寄せ集めて⊿hを小さくする極限をとるなら、hに対する積分になります。区間は、半球なら0～R。
∫(πρ/2)∫(R^2- h^2)^2*dh
=(4πρ/15)R^5
全球はこの2倍：(8/15) πρR^5 (式1)
ところで、球の全質量Mは、(4/3)πρR^3。
(式1)を、このMを使って表せば、以下となります。
(2M/5)R^2
これが、密度が一様な球の重心のまわりの慣性モーメントの式です。
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