力学pa 質問箱
　// by はぎわら_m //

＜「力学」と「解析力学」の違いについての質問 2008/01/29＞

授業の中で、運動方程式を、接線方向と法線方向に分けるということをやりました。このような展開が解析力学の第一歩と思えばいいでしょう。

単純な質点の運動の場合を除く現実の力学系では、まともに質点系や剛体の力学を適用し、（連立）運動方程式を立てたとしても、計算や表式が複雑になり過ぎて、見通しが立たなくなることが通例です（その片鱗は、二体問題の場合に既に表れていますね）。しかし、我々の興味の対象となる多くの系においては、束縛条件がつよくかかっていて、実際に起こる運動はそれほど複雑でないことが多いのです。そのようなときに、運動方程式の立て方を変えて、計算や見通しを容易にすることができる、、その処方を一般化したものが解析力学です。

（運動の自由度に合わせた）一般化座標を導入することで、自由度fの個数だけの連立２階微分Newton方程式を、2f個の１階微分方程式の形に変換することができます。これが、ラグランジュの運動方程式と呼ばれるもので、多体系の解析や、ロボット工学などの機構の解析において頻繁に用いられています。

さらに、ラグランジアンから一般化運動量を定め、座標と運動量のルジャンドル変換によって、ハミルトンの正準方程式と呼ばれる形が得られます。ハミルトン形式は、量子力学の表現とマッチするので、物質を研究する分野の基礎的知識になります。

このように、「解析力学」は「Newton形式の力学」を数学表現的に発展させたものです。「力学」は、それらを包括する一般の学問名称ですが、教科書のタイトルとしては、Newton力学に近い意味で使われることも多いようです。

＜2008/02/02 23:43＞

なるほど、そのような違いがあったのですか。
確かに「力学」と書かれた本には基礎力学や力学の授業で扱ったようなNewton力学の内容が、「解析力学」のほうにはより数学的な変形を行なった物理的な関係式が書かれていました。

ありがとうございました。

一般論としてのご質問ですね。

>2質点の位置関係を保ったまま1つの位置ベクトル(1つの時間関
>数)として表現するために導入されるのでしょうか？

「位置関係を保ったまま」という表現の意味が不明ですが、運動方程式の未知関数を一つにまとめるための操作であるというのはそのとおりです。

相対変位ベクトルDを導入する理由は、（表題にもあげられているとおりに）二体問題の数学的表現を、数学的に一体問題と同様の形に書き換えることで、運動方程式の解の形やら、軌道の対称性やら、保存則やらの規則性や推察が、中心力場における1質点の運動の場合と同様となることを明らかにし、活用するために行われると言っていいでしょう。

二体の相互作用ポテンシャルの関数形を、一体問題のポテンシャルのように見なしてしまい、その一体の運動が解けているなら、対応する二体の運動も自ずと解けている、、こういう扱いができるわけです。もちろん、いったん解けてしまえば、Dで表した運動の表現を、二質点それぞれの運動に戻して表現することは容易にできます。

1年です。関連した質問だと思うので同ツリーに書かせて頂きます。

>Dで表した運動の表現を、二質点それぞれの運動に戻して表現することは容易にできます。

とありますが、元々二質点それぞれについて1つずつ運動方程式があったものをまとめて1つの運動方程式にしたのだから、関係式(束縛条件？)が1つ抜け落ちてしまい元の二質点の運動には戻せないように直感的に思います。たとえば↑G(t)(重心運動)と↑D(t)の2つの式から↑r_1(t)と↑r_2(t)に戻せるというのは理解できたのですが↑D(t)だけからでも二質点の運動は読み取れるのでしょうか。それとも↑G(t)は座標系の設定のしかたによって変わる量であり二体の運動の本質ではなく、↑D(t)が分かれば十分というようなことなのでしょうか。

>まとめて1つの運動方程式にしたのだから、関係式(束縛条件
>？)が1つ抜け落ちてしまい元の二質点の運動には戻せないよ
>うに直感的に思います。

二体問題の一体問題化というのは、２つの関係式を1つに減らしてしまうのではなくて、r1(t)とr2(t)に関する2つの方程式を、G(t)とD(t)の2つの方程式に分け直すという意味です。（あるいは、、(r1+r2)型と(r1-r2)型に分け直すという言い方もできる.）
孤立2体系の場合は、相互作用の力が共通パラメータとなり、r1とr2の運動はもともと独立ではないため、このような扱いが可能になります。

ただし、重心運動は等速直線運動となることが自明なので、G(t)に関する方程式を解く手続きは実際には不要です。この意味で、二体問題を解くということは、D(t)に関する方程式一つを解くことに帰着すると言ってもかまわないのです。解としても、D(t)だけを表せば十分であり、必要があれば、初期条件によって決まる重心運動を考慮に入れて、各質点の運動に戻すことは容易にできるという意味です。

迅速な回答ありがとうございました。どうも一体問題化というものを勘違いして捉えていたようです。G(t)とD(t)の"2つ"に分け直して"一体"問題化だったのですね。