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Experiment
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一年の者です。
「二体問題の一体問題化」のうち、「内部相対運動」に関して質問があります。
ある2質点m1,m2があり、それらの原点Oからの位置ベクトルをそれぞれr1,r2とするとき、
D = r1 - r2
を満たす相対変位ベクトルDが導入されています。このベクトルDは、もともと2つの位置ベクトルr1,r2を用いて表されている2質点の運動の様子(位置、2回微分すれば加速度)を、2質点の位置関係を保ったまま1つの位置ベクトル(1つの時間関数)として表現するために導入されるのでしょうか？
相対変位ベクトルDを導入する理由を教えていただけませんか？
よろしくお願いします。
「二体問題の一体問題化」のうち、「内部相対運動」に関して質問があります。
ある2質点m1,m2があり、それらの原点Oからの位置ベクトルをそれぞれr1,r2とするとき、
D = r1 - r2
を満たす相対変位ベクトルDが導入されています。このベクトルDは、もともと2つの位置ベクトルr1,r2を用いて表されている2質点の運動の様子(位置、2回微分すれば加速度)を、2質点の位置関係を保ったまま1つの位置ベクトル(1つの時間関数)として表現するために導入されるのでしょうか？
相対変位ベクトルDを導入する理由を教えていただけませんか？
よろしくお願いします。
はぎわら
一般論としてのご質問ですね。
>2質点の位置関係を保ったまま1つの位置ベクトル(1つの時間関
>数)として表現するために導入されるのでしょうか？
「位置関係を保ったまま」という表現の意味が不明ですが、運動方程式の未知関数を一つにまとめるための操作であるというのはそのとおりです。
相対変位ベクトルDを導入する理由は、（表題にもあげられているとおりに）二体問題の数学的表現を、数学的に一体問題と同様の形に書き換えることで、運動方程式の解の形やら、軌道の対称性やら、保存則やらの規則性や推察が、中心力場における1質点の運動の場合と同様となることを明らかにし、活用するために行われると言っていいでしょう。
二体の相互作用ポテンシャルの関数形を、一体問題のポテンシャルのように見なしてしまい、その一体の運動が解けているなら、対応する二体の運動も自ずと解けている、、こういう扱いができるわけです。もちろん、いったん解けてしまえば、Dで表した運動の表現を、二質点それぞれの運動に戻して表現することは容易にできます。
>2質点の位置関係を保ったまま1つの位置ベクトル(1つの時間関
>数)として表現するために導入されるのでしょうか？
「位置関係を保ったまま」という表現の意味が不明ですが、運動方程式の未知関数を一つにまとめるための操作であるというのはそのとおりです。
相対変位ベクトルDを導入する理由は、（表題にもあげられているとおりに）二体問題の数学的表現を、数学的に一体問題と同様の形に書き換えることで、運動方程式の解の形やら、軌道の対称性やら、保存則やらの規則性や推察が、中心力場における1質点の運動の場合と同様となることを明らかにし、活用するために行われると言っていいでしょう。
二体の相互作用ポテンシャルの関数形を、一体問題のポテンシャルのように見なしてしまい、その一体の運動が解けているなら、対応する二体の運動も自ずと解けている、、こういう扱いができるわけです。もちろん、いったん解けてしまえば、Dで表した運動の表現を、二質点それぞれの運動に戻して表現することは容易にできます。
たていす
1年です。関連した質問だと思うので同ツリーに書かせて頂きます。
>Dで表した運動の表現を、二質点それぞれの運動に戻して表現することは容易にできます。
とありますが、元々二質点それぞれについて1つずつ運動方程式があったものをまとめて1つの運動方程式にしたのだから、関係式(束縛条件？)が1つ抜け落ちてしまい元の二質点の運動には戻せないように直感的に思います。たとえば↑G(t)(重心運動)と↑D(t)の2つの式から↑r_1(t)と↑r_2(t)に戻せるというのは理解できたのですが↑D(t)だけからでも二質点の運動は読み取れるのでしょうか。それとも↑G(t)は座標系の設定のしかたによって変わる量であり二体の運動の本質ではなく、↑D(t)が分かれば十分というようなことなのでしょうか。
>Dで表した運動の表現を、二質点それぞれの運動に戻して表現することは容易にできます。
とありますが、元々二質点それぞれについて1つずつ運動方程式があったものをまとめて1つの運動方程式にしたのだから、関係式(束縛条件？)が1つ抜け落ちてしまい元の二質点の運動には戻せないように直感的に思います。たとえば↑G(t)(重心運動)と↑D(t)の2つの式から↑r_1(t)と↑r_2(t)に戻せるというのは理解できたのですが↑D(t)だけからでも二質点の運動は読み取れるのでしょうか。それとも↑G(t)は座標系の設定のしかたによって変わる量であり二体の運動の本質ではなく、↑D(t)が分かれば十分というようなことなのでしょうか。
はぎわら
>まとめて1つの運動方程式にしたのだから、関係式(束縛条件
>？)が1つ抜け落ちてしまい元の二質点の運動には戻せないよ
>うに直感的に思います。
二体問題の一体問題化というのは、２つの関係式を1つに減らしてしまうのではなくて、r1(t)とr2(t)に関する2つの方程式を、G(t)とD(t)の2つの方程式に分け直すという意味です。（あるいは、、(r1+r2)型と(r1-r2)型に分け直すという言い方もできる.）
孤立2体系の場合は、相互作用の力が共通パラメータとなり、r1とr2の運動はもともと独立ではないため、このような扱いが可能になります。
ただし、重心運動は等速直線運動となることが自明なので、G(t)に関する方程式を解く手続きは実際には不要です。この意味で、二体問題を解くということは、D(t)に関する方程式一つを解くことに帰着すると言ってもかまわないのです。解としても、D(t)だけを表せば十分であり、必要があれば、初期条件によって決まる重心運動を考慮に入れて、各質点の運動に戻すことは容易にできるという意味です。
>？)が1つ抜け落ちてしまい元の二質点の運動には戻せないよ
>うに直感的に思います。
二体問題の一体問題化というのは、２つの関係式を1つに減らしてしまうのではなくて、r1(t)とr2(t)に関する2つの方程式を、G(t)とD(t)の2つの方程式に分け直すという意味です。（あるいは、、(r1+r2)型と(r1-r2)型に分け直すという言い方もできる.）
孤立2体系の場合は、相互作用の力が共通パラメータとなり、r1とr2の運動はもともと独立ではないため、このような扱いが可能になります。
ただし、重心運動は等速直線運動となることが自明なので、G(t)に関する方程式を解く手続きは実際には不要です。この意味で、二体問題を解くということは、D(t)に関する方程式一つを解くことに帰着すると言ってもかまわないのです。解としても、D(t)だけを表せば十分であり、必要があれば、初期条件によって決まる重心運動を考慮に入れて、各質点の運動に戻すことは容易にできるという意味です。
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