力学pa 質問箱
　// by はぎわら_m //

＜「力学」と「解析力学」の違いについての質問 2008/01/29＞

授業の中で、運動方程式を、接線方向と法線方向に分けるということをやりました。このような展開が解析力学の第一歩と思えばいいでしょう。

単純な質点の運動の場合を除く現実の力学系では、まともに質点系や剛体の力学を適用し、（連立）運動方程式を立てたとしても、計算や表式が複雑になり過ぎて、見通しが立たなくなることが通例です（その片鱗は、二体問題の場合に既に表れていますね）。しかし、我々の興味の対象となる多くの系においては、束縛条件がつよくかかっていて、実際に起こる運動はそれほど複雑でないことが多いのです。そのようなときに、運動方程式の立て方を変えて、計算や見通しを容易にすることができる、、その処方を一般化したものが解析力学です。

（運動の自由度に合わせた）一般化座標を導入することで、自由度fの個数だけの連立２階微分Newton方程式を、2f個の１階微分方程式の形に変換することができます。これが、ラグランジュの運動方程式と呼ばれるもので、多体系の解析や、ロボット工学などの機構の解析において頻繁に用いられています。

さらに、ラグランジアンから一般化運動量を定め、座標と運動量のルジャンドル変換によって、ハミルトンの正準方程式と呼ばれる形が得られます。ハミルトン形式は、量子力学の表現とマッチするので、物質を研究する分野の基礎的知識になります。

このように、「解析力学」は「Newton形式の力学」を数学表現的に発展させたものです。「力学」は、それらを包括する一般の学問名称ですが、教科書のタイトルとしては、Newton力学に近い意味で使われることも多いようです。

＜2008/02/02 23:43＞

なるほど、そのような違いがあったのですか。
確かに「力学」と書かれた本には基礎力学や力学の授業で扱ったようなNewton力学の内容が、「解析力学」のほうにはより数学的な変形を行なった物理的な関係式が書かれていました。

ありがとうございました。